Trasmissione della Luce
Meriti a:
Alessandro
Tommaso
Questa simulazione mostra come si comportano fotoni che attraversano una fibra ottica. Il modello si basa su un approccio probabilistico di tipo Monte Carlo , se volete vedere un esempio di Metodo Montecarlo scritto con p5.js clicca qui.
Simulazione in tempo reale
Puoi modificare in tempo reale i parametri della simulazione, come il numero di fotoni, la probabilità di interazione e il Libero Cammino Medio (LCM). La simulazione è pensata per scopi visivi: non usare numeri troppo elevati di fotoni su dispositivi mobili o datati, per evitare rallentamenti.
Per l’analisi statistica accurata, è disponibile una versione alternativa in Java (Processing), che consente di raccogliere dati da milioni di fotoni in modo efficiente.
Versioni disponibili:
Come funziona
Ogni fotone viene inizializzato con: posizione casuale nella sezione della fibra, direzione (casuale o parallela) e colore.
1. Movimento
Il fotone si sposta lungo il proprio vettore direzione a ogni passo della simulazione.
2. Riflessione e diffusione
Quando colpisce una parete, il fotone rimbalza. C'è una probabilità d che l’angolo cambi casualmente (diffusione), altrimenti subisce una riflessione perfetta.
3. Interazione con l'ambiente
Dopo aver percorso una distanza pari al LCM (Libero Cammino Medio), ha una probabilità a di essere assorbito.
4. Uscita dalla fibra
Se un fotone raggiunge il lato destro della fibra, è considerato trasmesso.
5. Visualizzazione
I fotoni diffusi cambiano colore per essere riconoscibili. In basso a schermo mostriamo in tempo reale: - la percentuale dei fotoni trasmessi, - quelli assorbiti, - e quelli diffusi almeno una volta.
Analisi Statistica
1. Simulare il tragitto delle particelle:
Per simulare il tragitto della luce, abbiamo utilizzato un approccio Monte Carlo che modella la luce come singoli fotoni. La nostra implementazione è stata realizzata in Processing, permettendo una gestione ottimizzata delle simulazioni. Questo metodo ci ha consentito di tracciare il percorso di ogni fotone e gestirne le interazioni (riflessione, assorbimento o diffusione) in base a parametri probabilistici, come il libero cammino medio (LCM). L'efficienza del nostro codice ci ha permesso di scalare la simulazione fino a 500.000 fotoni, garantendo risultati statisticamente robusti e affidabili, a differenza di simulazioni più semplici.
2. Raccogliere statistiche rilevanti:
Punti a/c
Per stimare la frazione trasmessa T, abbiamo eseguito 10 simulazioni da 100.000 fotoni ciascuna. In ogni caso abbiamo contato quanti sono stati trasmessi e calcolato la loro proporzione sul totale.
Dai dati abbiamo ricavato:
Per garantire che l’intervallo T ± 0.01 contenga il valore reale con probabilità del 95%, abbiamo usato la formula:
N ≥ (1.96 × s / 0.01)2,
dove 1.96 è il valore z0.025 per un intervallo bilaterale e 0.01 è l’errore massimo accettabile.
Risultato: servono almeno 9504 fotoni, ben sotto i 100.000 usati per ogni simulazione.
Punto b
Per studiare la distribuzione spaziale dei fotoni trasmessi, abbiamo registrato la coordinata y in uscita. Il cavo copre l’intervallo 100 ≤ y ≤ 300.
Abbiamo diviso questa sezione in 40 intervalli da 5 unità e generato un istogramma. Ogni barra mostra la densità di fotoni (conteggi divisi per la base), così che altezza × base dia il numero effettivo in ogni sezione.
I valori 100 e 300 sull’asse indicano i bordi reali del cavo. Per ottenere il numero di fotoni in una sezione, basta moltiplicare l’altezza della barra per 5.
3. Analizzare le prestazioni:
Probabilità a:
All'aumentare della probabilità 'a', ovvero che i fotoni interagiscano con l'aria, notiamo che il numero di fotoni che subiscono questa interazione aumenta, mentre il numero di quelli che escono dal cavo diminuisce. Questo accade perché una maggiore interazione con il mezzo circostante causa una perdita di fotoni lungo il percorso.
Polarizzazione:
Con l'uso di luce polarizzata, si osserva l'effetto opposto: i fotoni interagiscono meno con l'aria e, di conseguenza, un numero maggiore di essi riesce a uscire dal cavo. Un dato fondamentale è che la polarizzazione elimina completamente la deviazione casuale dei fotoni, garantendo un percorso più diretto.
Probabilità d:
Infine, al variare della probabilità 'd' (rimbalzo con angolo casuale), i dati indicano che più 'd' è alta, più fotoni escono dal cavo. Questa dinamica, apparentemente inaspettata, può essere spiegata dal fatto che, aumentando la probabilità di un rimbalzo con angolo casuale, il fotone ha una maggiore possibilità di trovare un angolo favorevole che lo indirizzi direttamente verso l'uscita. Questo riduce il tempo complessivo di permanenza all'interno del tubo, diminuendo così il rischio di interazioni e perdite.
4. Effettuare una analisi statistica dei fotoni trasmessi:
Punto a:
Per analizzare statisticamente la frazione di fotoni trasmessi, abbiamo considerato i risultati di 10 simulazioni indipendenti con 100.000 fotoni ciascuna, utilizzando parametri a = 0.05, d = 0.3 e lcm_α = 0.1, che ci sono sembrati adeguati visti i risultati delle simulazioni.
Abbiamo calcolato la media (attesa) empirica della proporzione trasmessa, ottenendo un valore di 0.5512. Questo rappresenta la stima della probabilità che un fotone venga trasmesso nelle condizioni date.
La varianza empirica tra le 10 simulazioni è risultata 0.000002, con una deviazione standard campionaria di 0.0014. Questi valori quantificano la variabilità delle simulazioni e danno un’indicazione della stabilità della stima della trasmissione.
Questa analisi conferma che, a parità di condizioni, la stima della frazione trasmessa risulta affidabile e ben concentrata attorno all’attesa.
Punto b:
Il grafico mostra come varia il numero di fotoni trasmessi T al crescere del parametro LCM (libero cammino medio), espresso come multiplo della lunghezza del cavo L. Per valori piccoli di LCM, i fotoni interagiscono frequentemente con il mezzo, riducendo drasticamente la probabilità di attraversamento. Al crescere del LCM, T aumenta rapidamente fino a stabilizzarsi attorno al massimo valore possibile (500.000 fotoni trasmessi su 500.000 simulati), indicando trasparenza quasi totale del cavo.
È stata calcolata una retta di regressione nei valori iniziali, con equazione y = 416234x − 5636,8 e coefficiente di determinazione R² = 0,9617, che suggerisce un'ottima correlazione lineare tra LCM e T in quella fascia. Questo comportamento conferma che il LCM ha un ruolo cruciale nella trasmissione solo nei primi intervalli: superato un certo valore soglia (tra 1 e 1.2), l’effetto si satura e ulteriori aumenti non influenzano più la trasmissività del mezzo.